醉汉的脚步:Marilyn没错

我在github博客上的帖子原文：http://cxwangyi.github.com/2012/11/17/marilyn-is-correct/

我看到有人的博客里在讨论 The Drundard’s Walk 里的一个问题：

Suppose the contestants on a game show are given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. After a contestant picks a door, the host, who knows what’s behind all the doors, opens one of the unchosen doors, which reveals a goat. He then says to the contestant, “Do you want to switch to the other unopened door?” Is it to the contestant’s advantage to make the switch?

论坛上有人争论这个参赛者是否应该换选择（或者为什么）；很多争论的结果是 不需要换。这样的争论结果和书中描述的当年很多美国数学家的结论是一致的。 实际上，我自己的直觉也是不需要换。并且我母亲听说了这个问题后，直觉也是。

可是正确答案是“要换”。今天在地铁上，我想明白了，特此记录。

为了讨论方便，先把上面的问题翻译成中文：

在一个电视游戏里，有三个门，其中两扇后面各自是一只羊，另一扇后面是一辆 车。参赛者可以随机选择一扇门（后面要么是一只羊，或者是一辆车）；随后主 持人在公布答案之前打开剩下的两扇门中的一扇后面是羊的门（这样剩下的一扇 门既不是参赛者选择的，也不是主持人打开的），然后主持人问参赛者要不要更 换自己的选择（换到剩下的第三扇）。问题是：参赛者有必要更换自己的选择吗？

直觉

因为有两扇门后面是羊，所以不管参赛者选择哪一扇门，主持人必然能打开一扇 不是参赛者选择的，并且后面是羊的门。既然有这个事实，那么看起来参赛者是 在两扇门中选择一扇，所以抽到车的概率是 50%。那么也就不需要麻烦去更换自 己的选择了。

分析

先假设1号门后面是车，2号和3号后面是羊。（随后我们会推广到其他情况。）那 么会有以下可能：

1. 参赛者选择1号门，那么主持人有两个选择：
   1.1. 主持人打开2号门。此时参赛者没必要更换自己的选择为3号门。
   1.2. 主持人打开3号门。此时也没必要更换选择。
2. 参赛者选择2；主持人只有一种选择：
   2.1. 主持人开打3。此时参赛者应该更换。
3. 参赛者选择3；主持人只有一种选择：
   3.1. 主持人打开2.此时参赛者应该更换。

上面的博弈树一共有四个叶节点，其中两个是“应该换”，另外两个是“不应该换”。 这么看起来，换和不换各自是 50% 的可能性，那就没必要换了。

可是要是这么想，那就错了。因为“换不换“是基于参赛者的三种可能选择之一来 决断的，所以应该是只有当参赛者选择1的时候”不换“，而另外两种（参赛者选择 的）情况下，都是”换“。所以”换“的概率是 2/3，而不换的概率是 1/3；最终答 案应该是“换”！

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