醉汉的脚步:Marilyn没错

我在github博客上的帖子原文:http://cxwangyi.github.com/2012/11/17/marilyn-is-correct/

我看到有人的博客里在讨论 The Drundard’s Walk 里的一个问题:

Suppose the contestants on a game show are given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. After a contestant picks a door, the host, who knows what’s behind all the doors, opens one of the unchosen doors, which reveals a goat. He then says to the contestant, “Do you want to switch to the other unopened door?” Is it to the contestant’s advantage to make the switch?

论坛上有人争论这个参赛者是否应该换选择(或者为什么);很多争论的结果是 不需要换。这样的争论结果和书中描述的当年很多美国数学家的结论是一致的。 实际上,我自己的直觉也是不需要换。并且我母亲听说了这个问题后,直觉也是。

可是正确答案是“要换”。今天在地铁上,我想明白了,特此记录。

为了讨论方便,先把上面的问题翻译成中文:

在一个电视游戏里,有三个门,其中两扇后面各自是一只羊,另一扇后面是一辆 车。参赛者可以随机选择一扇门(后面要么是一只羊,或者是一辆车);随后主 持人在公布答案之前打开剩下的两扇门中的一扇后面是羊的门(这样剩下的一扇 门既不是参赛者选择的,也不是主持人打开的),然后主持人问参赛者要不要更 换自己的选择(换到剩下的第三扇)。问题是:参赛者有必要更换自己的选择吗?

直觉

因为有两扇门后面是羊,所以不管参赛者选择哪一扇门,主持人必然能打开一扇 不是参赛者选择的,并且后面是羊的门。既然有这个事实,那么看起来参赛者是 在两扇门中选择一扇,所以抽到车的概率是 50%。那么也就不需要麻烦去更换自 己的选择了。

分析

先假设1号门后面是车,2号和3号后面是羊。(随后我们会推广到其他情况。)那 么会有以下可能:

1. 参赛者选择1号门,那么主持人有两个选择:
   1.1. 主持人打开2号门。此时参赛者没必要更换自己的选择为3号门。
   1.2. 主持人打开3号门。此时也没必要更换选择。
2. 参赛者选择2;主持人只有一种选择:
   2.1. 主持人开打3。此时参赛者应该更换。
3. 参赛者选择3;主持人只有一种选择:
   3.1. 主持人打开2.此时参赛者应该更换。

上面的博弈树一共有四个叶节点,其中两个是“应该换”,另外两个是“不应该换”。 这么看起来,换和不换各自是 50% 的可能性,那就没必要换了。

可是要是这么想,那就错了。因为“换不换“是基于参赛者的三种可能选择之一来 决断的,所以应该是只有当参赛者选择1的时候”不换“,而另外两种(参赛者选择 的)情况下,都是”换“。所以”换“的概率是 2/3,而不换的概率是 1/3;最终答 案应该是“换”!

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5 Responses to 醉汉的脚步:Marilyn没错

  1. Platinum says:

    直到我前几天知道了哥白尼原则才彻底搞明白这个问题(之前我虽然没动手做测试但相信结果是符合的,但一直没搞明白为什么结果会违反我的直觉) http://songshuhui.net/archives/75030

    • cxwangyi says:

      看了一下你给的链接。挺有意思的。让我联想到客观贝叶斯(Objective Bayesian)思路:http://www.cs.berkeley.edu/~jordan/courses/260-spring10/lectures/lecture1.pdf

      不过我没有明白这个问题的解答为什么需要了解哥白尼原理呢?我的解法是最简单的概率分布的定义导出的:填写P(换=true|参赛者, 主持人, 车位) 这样一个三维函数(格子)即可。

  2. 半瓶墨水 says:

    这个问题我四年前也写过blog: http://www.2maomao.com/blog/car-and-goat-ex/ ,维基百科上的讨论最全: http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Other_host_behaviors

    换还是不换?根据情况的不同,答案会很不一样。

    关键的这句话:“已经知道答案的主持人决定帮他一把”。

    情况0. 主持人知道答案,并且总会打开没有奖的门,那么选择者更换的结果就是2/3的机会中奖

    情况1. 主持人知道答案,并且只在挑战者选择了*有*奖品的门的情况下提供重选机会,那么更换选择就是100%挂掉

    情况2. 如果主持人知道答案,并且只在挑战者选择了*没有*奖品的门的情况下提供重选机会,更换选择就会100%中奖

    情况3. 如果主持人也*不*知道答案,纯粹瞎蒙蒙找到了一个没奖的门,这时换不换都是50%

    情况4. 如果主持人在日期为单号的时候按情况1处理,在日期为双号的时候按情况2处理,那么。。。。。。

    大家看出来了吧,概率论很重要,体会主持人的意思更关键:D

  3. yolanda says:

    我觉得这就是个先验概率问题(不去考虑主持人是否有意的情况下)。第一轮选择,参赛者选到羊的概率2/3,选到车的概率1/3。主持人打开一个有羊的门后,剩下两个门一羊一车。若原本参赛者选的就是羊,更换则100%;若原本为车,更换则概率为0。也就是说更换答案的情况下概率为2/3*1+1/3*0=2/3。不换的情况也如此计算,得到2/3*0+1/3*1=1/3。至于主持人意思文中实在不是很明确,没办法判定他是要帮忙还是帮倒忙;我理解为主持人知道答案但是总打开没有奖的门,这是规则之一,跟参赛者选了哪个门没直接关系。

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