醉汉的脚步:Marilyn没错

我在github博客上的帖子原文:http://cxwangyi.github.com/2012/11/17/marilyn-is-correct/

我看到有人的博客里在讨论 The Drundard’s Walk 里的一个问题:

Suppose the contestants on a game show are given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. After a contestant picks a door, the host, who knows what’s behind all the doors, opens one of the unchosen doors, which reveals a goat. He then says to the contestant, “Do you want to switch to the other unopened door?” Is it to the contestant’s advantage to make the switch?

论坛上有人争论这个参赛者是否应该换选择(或者为什么);很多争论的结果是 不需要换。这样的争论结果和书中描述的当年很多美国数学家的结论是一致的。 实际上,我自己的直觉也是不需要换。并且我母亲听说了这个问题后,直觉也是。

可是正确答案是“要换”。今天在地铁上,我想明白了,特此记录。

为了讨论方便,先把上面的问题翻译成中文:

在一个电视游戏里,有三个门,其中两扇后面各自是一只羊,另一扇后面是一辆 车。参赛者可以随机选择一扇门(后面要么是一只羊,或者是一辆车);随后主 持人在公布答案之前打开剩下的两扇门中的一扇后面是羊的门(这样剩下的一扇 门既不是参赛者选择的,也不是主持人打开的),然后主持人问参赛者要不要更 换自己的选择(换到剩下的第三扇)。问题是:参赛者有必要更换自己的选择吗?

直觉

因为有两扇门后面是羊,所以不管参赛者选择哪一扇门,主持人必然能打开一扇 不是参赛者选择的,并且后面是羊的门。既然有这个事实,那么看起来参赛者是 在两扇门中选择一扇,所以抽到车的概率是 50%。那么也就不需要麻烦去更换自 己的选择了。

分析

先假设1号门后面是车,2号和3号后面是羊。(随后我们会推广到其他情况。)那 么会有以下可能:

1. 参赛者选择1号门,那么主持人有两个选择:
   1.1. 主持人打开2号门。此时参赛者没必要更换自己的选择为3号门。
   1.2. 主持人打开3号门。此时也没必要更换选择。
2. 参赛者选择2;主持人只有一种选择:
   2.1. 主持人开打3。此时参赛者应该更换。
3. 参赛者选择3;主持人只有一种选择:
   3.1. 主持人打开2.此时参赛者应该更换。

上面的博弈树一共有四个叶节点,其中两个是“应该换”,另外两个是“不应该换”。 这么看起来,换和不换各自是 50% 的可能性,那就没必要换了。

可是要是这么想,那就错了。因为“换不换“是基于参赛者的三种可能选择之一来 决断的,所以应该是只有当参赛者选择1的时候”不换“,而另外两种(参赛者选择 的)情况下,都是”换“。所以”换“的概率是 2/3,而不换的概率是 1/3;最终答 案应该是“换”!